Algebra Gruppen - Ringe - Körper by Christian Karpfinger

By Christian Karpfinger

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einf?hrung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausf?hrlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bem?ht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisf?hrungen sind ausf?hrlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten f?hren Schritt f?r Schritt an die Ergebnisse heran und k?nnen durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden. Die Autoren haben stets darauf geachtet, dass erst dann neue Begriffe und Konzepte eingef?hrt werden, wenn ein gewisses Vertrauen im Umgang mit den bis dahin entwickelten Begriffen und Konzepten besteht. Das Vorgehen wird stets motiviert, schwierige Sachverhalte werden ausf?hrlich erkl?rt und an Beispielen erprobt. Der Leser erh?lt dadurch einen einfachen Zugang zu dem nicht ganz leichten Thema der Algebra.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel ?berpr?fen das Gelernte und f?rdern das tiefere Verst?ndnis der Theorie. Auf der site zum Buch stehen ausf?hrliche L?sungsvorschl?ge zu den Aufgaben bereit.

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Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra

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Es ist üblich, wenn eindeutig klar ist, mit welchem Modul n ∈ N gerechnet wird, die Restklassen mit a, a ∈ Z, zu bezeichnen, d. h. a = a + n Z = {a + n k | k ∈ Z} . Die Menge Z/n Z der Restklassen modulo n bezeichnen wir kürzer mit Zn : Zn = Z/n Z = {a + n Z | a ∈ Z} = {a | a ∈ Z} . Hat a ∈ Z bei Division durch n den Rest r, 0 ≤ r < n, dann gilt a = r; es gibt somit genau n verschiedene Restklassen r, 0 ≤ r < n: Zn = {0 , 1 , 2, . . , n − 1} , |Zn | = n . 1 auf Zn (Z modulo n Z): (a + n Z) + (b + n Z) = (a + b) + n Z mit dem Nullelement 0 = n Z und dem zu a = a + n Z negativen Element −a = −a = −a + n Z.

2) a N a−1 ⊆ N für alle a ∈ G. Beweis: (1) ⇒ (2): Aus a N = N a für a ∈ G folgt a N a−1 = N . Also gilt (2). 4 Normalteiler und Faktorgruppen 44 (2) ⇒ (1): Nach (2) gelten für jedes a ∈ G die beiden Inklusionen: a N a−1 ⊆ N und a−1 N a ⊆ N . Sie sind gleichbedeutend mit a N ⊆ N a und N a ⊆ a N , also mit a N = N a. Bevor wir zu den Beispielen kommen, wollen wir nur kurz anmerken, dass man die Eigenschaft a N a−1 ⊆ N für einen Normalteiler N einer Gruppe G nach bewährtem Rezept für alle a ∈ G nachweist: Man nehme x ∈ N (beliebig), a ∈ G (beliebig) und zeige a x a−1 ∈ N .

53 Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so liefert die Menge der Linksnebenklassen a U eine Partition von G. Wir wollen auf dieser Menge M der Linksnebenklassen eine Verknüpfung erklären, sodass M damit ebenfalls eine Gruppe ergibt. Das ist so einfach aber nicht möglich, die Untergruppe U muss dazu eine weitere Eigenschaft erfüllen – sie muss ein Normalteiler sein. Normalteiler sind jene Untergruppen, für die Linksund Rechtsnebenklassen übereinstimmen, d.

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