Algebraische Gruppen by Jan Draisma

By Jan Draisma

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Example text

Seien f1 , . . , fk Erzeuger vom Ideal I(H), und bilde einen ρ(G)stabilen, endlich-dimensionalen Unterraum V von O(G), der f1 , . . , fk enth¨alt (die gibt es nach einem fr¨ uheren Satz). Sei φ : G → GL(V ) die Abbildung φ (g) = ρ(g)|V . Dann ist φ eine rationale Darstellung (nach dem gleichen Satz). Sei nun E := V ∩ I(H). Der Raum E ist H-stabil da V und I(H) es sind. Sei umgekehrt g ∈ G mit φ (g)E ⊆ E . Dann bildet ρ(g) die Erzeuger f1 , . . , fk ∈ E in I(H) ab, und es folgt ρ(g)I(H) ⊆ I(H)—also g ∈ H.

Dies geht nur schief wenn gw in der Hyperebene gegeben durch ξ = 0 liegt, aber lokal um e ∈ G ist diese ‘Operation’ wohldefiniert. In dieser ‘Operation’ von G auf W ist H der Stabilisator vom Punkt v0 . (Wenn wir projektive Variet¨aten zur Verf¨ ugung h¨atten, k¨onnten wir einfach G auf dem projektiven Raum PV operieren lassen; unser W entspricht einem offenen, affinen—aber m¨ oglicherweise nicht G-stabilen—Raum in diesem projektiven Raum. ˜ ⊆ Beweis. Ohne Einschr¨ ankung ist G zusammenh¨angend.

Folgere aus dem Satz, dass in Charakteristik 0 gilt: jeder de ρL(G)stabile Unterraum in einem endlich-dimensionalen, rationalen G-Modul ist auch G-stabil. 8. Eine algebraische Gruppe G heisst unipotent falls jedes Element von G unipotent ist. Eine (beliebige) Untergruppe G von GLn heisst unipotent, falls jedes Element von G eine unipotente Matrix ist. Bemerke, dass die zwei Definitionen von ‘unipotent’ f¨ ur abgeschlossene Untergruppen von GLn a quivalent sind. Wir werden folgenden Hauptsatz f¨ ur unipotente ¨ Gruppen beweisen.

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